Perturbative renormalization of field theories breaking translation invariance - Département de physique Access content directly
Theses Year : 2023

Perturbative renormalization of field theories breaking translation invariance

Renormalisation par le groupe de renormalisation des théories sans invariance euclidienne

Majdouline Borji
  • Function : Author
  • PersonId : 1358236
  • IdRef : 276105702

Abstract

The aim of this thesis is to establish a rigorous proof of perturbative renormalization of massive scalar field theories that break translation invariance. First, we study an implicit breaking of translation invariance, by studying the scalar field model in R4 regularized by a lattice. This theory is invariant under the Euclidean symmetries, which is not the case of its lattice regularized version. We establish that the continuum limit (i.e. when the lattice parameter is sent to 0) is invariant under translations and rotations. The central part of this thesis concerns the perturbative analysis of the renormalizability of boundary scalar field theories. We study a toy model of such systems, which is the semi-infinite scalar field model. A field theoretical approach was performed extensively in the litterature up to two loop orders, but a systematic analysis to all loop orders remained open. In this thesis, we give a rigorous proof of renormalizability of this model to all loop orders. Then, we prove that for a particular choice of renormalization conditions the counter-terms are independent of the position in the space. Furthermore, we prove that the counter-terms are of the same structure of the terms appearing in the original Hamiltonian. For Dirichlet boundary conditions, we find that the counter-terms are the same as those that renormalize the translationally invariant theory (i.e. bulk counter-terms). However, the Robin and Neumann boundary conditions require in addition to the usual bulk counter-terms some additional surface counter-terms which are supported on the surface.
L’objectif de cette thèse est de comprendre comment la renormalisation est affectée par la brisure de la symétrie de translation. Dans le contexte de cette thèse, nous nous intéressons principalement aux deux exemples de la théorie scalaire dans R4 régularisée par un réseau et celui de la théorie scalaire dans le demi-espace R+ x R3 euclidien appelée modèle semi-infini. Ces deux projets sont indépendants l'un de l'autre. Nous considérons en premier le modèle semi-infini en établissant une preuve rigoureuse de la renormalisation de cette théorie en se basant sur les équations de flot. D'un point de vue théorie de champ, ce problème a été étudié pour la première fois en 1981 en inspectant les divergences des graphes de Feynman à une et deux boucles. Le problème à un nombre arbitraire de boucles est resté longtemps ouvert. Dans cette thèse, nous avons résolu le problème de renormalisation perturbative de cette théorie à tous les ordres en perturbation. La difficulté de ce problème réside dans la brisure de l’invariance par translation par la surface bord du demi-espace qui nécessite de procéder dans l'espace des positions. Cela a pour conséquence que les fonctions de corrélation du système sont des distributions. Dans le cas d’un demi-espace, il existe plusieurs extensions autoadjointes du Laplacien et chacune définit une condition au bord physique ainsi qu'une théorie quantique de champ indépendante. Ces conditions aux bords pour le modèle semi-infinie sont du type Dirichlet, Neumann et Robin. Le support des mesures gaussiennes associées aux différents propagateurs Dirichlet, Neumann et Robin est singulier, dans le sens qu’il contient des distributions, pour lesquelles le produit au même point n’est pas défini. Par conséquent, une régularisation par coupure ultraviolette est nécessaire. Celle-ci agit sur le support des mesures gaussiennes en le réduisant à des fonctions indéfiniment dérivables. Ainsi, il devient possible d'introduire l’auto-interaction dollarphi^4dollar. La mesure gaussienne combinée à l'interaction permet de définir l'action effective par l'intégrale de chemin. Les propriétés de dérivation de la mesure gaussienne impliquent par la suite l'équation de flot. Une série formelle en nombre de boucles permet de déduire l’équation de flot vérifiée par les “fonctions” de corrélation régularisées. Comme l’invariance par translation est brisée par la surface, les “fonctions” de corrélation dans ce cas sont des distributions. Nous introduisons une classe de fonctions tests sur lesquelles ces distributions agissent et nous bornons uniformément ces distributions par rapport à la coupure ultraviolette, en fixant dans un premier moment des conditions de renormalisation BPHZ. Cela a pour conséquence que les contre-termes sont des fonctions qui dépendent de la position dans le demi-espace. La deuxième partie de cette thèse est consacrée à une étude détaillée des contre-termes. Nous établissons qu'il est possible de choisir ordre par ordre des conditions de renormalisation pour lesquelles les contre-termes sont des constantes. En outre, ces contre-termes sont donnés par ceux de la théorie invariante par translation et deux contre-termes surface proportionnels à dollarint_S phi^2dollar et dollarint_Sphipartial_nphidollar dans le cas de conditions aux bords du type Robin et Neumann. Pour Dirichlet, les contre-termes usuels de la théorie invariante par translation sont suffisants pour rendre la théorie finie. La dernière partie de cette thèse est dédiée à l'étude de la théorie scalaire massive dollarphi^4dollar régularisée par réseau. Nous démontrons qu'elle est renormalisable, et que les symétries euclidiennes sont restorées dans la limite du continu.
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tel-04482677 , version 1 (28-02-2024)

Identifiers

  • HAL Id : tel-04482677 , version 1

Cite

Majdouline Borji. Perturbative renormalization of field theories breaking translation invariance. Mathematical Physics [math-ph]. Institut Polytechnique de Paris, 2023. English. ⟨NNT : 2023IPPAX136⟩. ⟨tel-04482677⟩
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